La proporción: arte y matemáticas

Aquest llibre aporta reflexions sobre la pintura, l'arquitectura, el disseny, els mapes, l'ús de les TIC, l'escultura i la música. S'hi respira a Pitàgores, Barents, Durero; Leonardo da Vinci i Ghyka, però també a Rafael, Botero, Dalí, Oldemburg, Borrás, Van der Lan, Le Corbusier i molts altres artistes. Es decideix parlar de proporcions des del que és geomètric i numèric, perquè és un tema recurrent i fecund en aquesta connexió entre el que és artisticocultural i matemàtic, que ha apassionat tota la humanitat. Adreçat a un públic ampli, amb l'ajuda d'un discurs fàcil i una gran profusió d'imatges, les experiències han estat pensades per convèncer-nos que tots podem connectar, mitjançant les proporcions, l'art i la matemàtica.

El capítol segueix la transició de les cartes marines com a artefactes empírics a eines científiques. Parteix del cabotatge amb rosa dels vents i tronc de llegües; explica la navegació a estima i la toleta de marteloio per corregir desviacions; i la navegació astronòmica per fixar la latitud. Planteja el problema d’aplanar l’esfera: loxodròmiques de Nunes i solució conforme de Mercator–Wright basada en la suma/integral de secants. Presenta el triangle de navegació (distància, diferència de latitud i de longitud, i rumb) i el càlcul trigonomètric davant el regiment de les llegües. Tanca amb la cartografia acadèmica dels segles XVII–XVIII i la precisió assolida al XIX.

El capítol presenta la Família de Nombres Metàl·lics (FNM), definida per equacions quadràtiques amb paràmetres naturals p i q. Inclou el nombre d’or, plata, bronze i d’altres, tots irracionals amb desenvolupaments en fraccions contínues periòdiques. Destaca la seva doble naturalesa aritmètico-geomètrica: són els únics que generen successions additives i progressions geomètriques simultàniament. Analitza la seva aplicació en sistemes de proporcions arquitectònics (Alberti, Le Corbusier, proporció romana) i en escultures fractals basades en simetries pentagonals. Conclou ressaltant la relació entre FNM, art, tecnologia i harmonia com a pont entre raó i emoció estètica.

El capítol explica com les raons i les proporcions estructuren la música occidental a partir del monocordi pitagòric (octava 1:2, quinta 2:3, quarta 3:4) i de la composició de raons per construir escales. Recorre la tensió entre l’enfocament aritmètic-especulatiu (Pitàgores, Euclides, Boeci) i l’emergència de bases físic-experimentals (Galileu), i el temperament igual, que introdueix nombres irracionals per resoldre la coma pitagòrica i permetre la modulació. Proposa usos didàctics del monocordi per distingir raó/proporció, composició/multiplicació i igualtat/semejança, i mostra la persistència del pensament proporcional en consonància, escales i la 'música de les esferes'.

El capítol mostra com analitzar obres des de l’Antiguitat fins al segle XX amb matemàtiques elementals i GeoGebra. Explica els “nombres mòrfics” (or φ i plata ψ) i el seu paper proporcional; il·lustra procediments per detectar rectangles àuris i radians (Mondrian), construccions amb vesica piscis i dècima (Almada Negreiros), trames geomètriques en composicions renaixentistes (Rafael) i disseccions/transformacions en art contemporani (Norman Dilworth). Proposa una metodologia reproduïble a l’aula amb geometria dinàmica.

La proporció àuria es presenta com una relació d’equilibri entre el tot i les parts que facilita llegir les formes del món. El capítol l’explica sense fórmules: dividir de manera “justa” un segment, construir rectangles que creixen sense deformar-se i traçar una espiral que manté la forma. S’hi mostren vincles amb el pentàgon i amb una successió senzilla que n’ajuda l’aproximació. En el cos humà, el cànon clàssic i els estudis de Leonardo i Le Corbusier uneixen mesura i benestar. En disseny i arquitectura apareixen targetes, objectes i edificis. A la natura, fulles, flors, petxines i estrelles de mar revelen patrons espirals que conserven la forma en créixer.

El capítol mostra una seqüència didàctica a P4 a partir de l’escultura Live BAC! d’Agapit Borràs. Després d’analitzar fotografies (vocabulari de línies, figures i recomptes), el grup visita l’obra i en comprova textures, mides i posicions. Comparen magnituds (alt/llarg/ample) amb mesures no convencionals (cossos, passes, braços), identifiquen que una planxa és més llarga i que la distància entre planxes varia (estret/ample). A l’aula, dibuixen l’experiència, dissenyen i construeixen en parelles la seva “escultura” (cartolina, paper de seda, pintura b/n) i resolen el manteniment i la curvatura amb filferro; el treball cooperatiu potencia l’ajuda i la negociació. Finalment es modelen amb plastilina a escala respecte a la peça, amb aproximacions proporcionals (≈ meitat de l’alçada). La proposta integra art i matemàtiques, afavoreix vocabulari geomètric, comparació i estimació de magnituds i posa les bases intuïtives de la proporcionalitat mitjançant vivències sensoriomotrius.

El capítol proposa una seqüència interdisciplinària a 5è de primària per treballar el concepte de proporció a partir de l’art. S’introdueixen els canvis d’escala i forma en les escultures gegants d’Oldenburg (manteniment de la proporció), les desproporcions volumètriques de Botero (èmfasi expressiu) i l’ús estructural de la semblança en l’obra de Dalí (rectangles proporcionals, nombre àuri, homotècies). A partir de l’observació i l’anàlisi visual, l’alumnat experimenta amb rectangles semblants (mètode de la diagonal) i crea produccions artístiques inspirades en Dalí, diferenciant entre ampliació, reducció i deformació. La proposta articula art i matemàtica a través de l’experimentació perceptiva, la reflexió sobre la forma i la creació plàstica com a eina de modelització geomètrica.