Pensamiento matemático específico

Abordem el desenvolupament del pensament probabilístic més enllà del concepte matemàtic de probabilitat, considerant-lo com una manera de pensar i avaluar situacions d'incertesa, encara que no s'utilitzin càlculs formals de probabilitat. Iniciem amb un estudi històric epistemològic del pensament probabilístic, amb focus en Bayes-Laplace i Ramsey, com a auxili per comprendre el rol de la intuïció, els judicis probabilístics i el coneixement matemàtic en els seus fonaments i aplicacions.
Atesa la varietat d'accepcions que existeixen entorn de la probabilitat des del llenguatge col·loquial, les autores consideren fonamental distingir significats en relació amb la probabilitat, basats en la literatura especialitzada i que permetin definir elements comuns per comprendre els processos d'aprenentatge associats al pensament probabilístic. En aquest sentit, es proposa així una descripció de conceptes clau com ara: «incertesa», «aleatorietat», «risc», «intuïció», «inferència», «estocàstic» i «presa de decisions».
Amb la finalitat d'indagar en la integració de les idees epistemològiques i els conceptes clau en recerques del camp, utilitzant com a criteris la presència de tals conceptes, realitzem una revisió sistemàtica de la literatura dels anys 2010 a 2022 i incloem aquelles que estudien explícitament el pensament probabilístic vinculat a l'aprenentatge. Els articles seleccionats van ser classificats segons la perspectiva de Ramsey i el desenvolupament de Bayes-Laplace. Els resultats mostren la identificació de recerques que aborden el pensament probabilístic amb finalitats educatius, en correspondència amb els èmfasis històrics epistemològics i consideren alguns dels conceptes clau.

El capítol aborda el pensament matemàtic darrere de l'activitat de brodat de dones hñahñú adoptant una perspectiva crítica respecte al culturocentrisme que caracteritza molts dels estudis sobre els coneixements matemàtics de cultures diverses. Recorrem a dues perspectives analítiques per donar compte dels productes i els processos del brodat. Primer, situant-nos des de la perspectiva del coneixement geomètric escolar, donem compte dels motius presents en els brodats en termes d'isometries del pla. Posteriorment, recorrem a eines etnogràfiques per donar compte dels coneixements d'una brodadora de manera sensible a les seves pròpies expressions i formes de justificació i organització de coneixements. Per això fem ús d'eines teòriques de la teoria de l'objectivació i del programa Etnomatemáticas. Aquesta doble perspectiva ens permet discutir algunes distàncies entre la geometria escolar i les maneres de fer i de pensar que conformen el saber matemàtic del brodat hñahñú. Finalitzem discutint algunes implicacions dels nostres resultats per repensar la relació entre l'escola i els sabers matemàtics locals i per imaginar espais de trobada, convidant els docents a participar d'aquesta discussió.

L'estudi de la variació, o, més concretament, el desenvolupament del pensament variacional, és cada dia més important en l'ensenyament i l'aprenentatge de la matemàtica. No obstant això, comporta una ruptura amb maneres de pensar que no consideren la variació. Assumir, per exemple, que per desenvolupar-lo n'hi ha prou amb aprendre fórmules d'àrees i volums o dibuixar gràfiques cartesianes, etc. és un error; a més, si es privilegia una activitat matemàtica centrada en algorismes i procediments, els estudiants no desenvolupen el llenguatge, les estructures ni els arguments necessaris per a aquesta mena de pensament. El pensament i el llenguatge variacional constitueixen una línia de recerca en el si de la «teoria socioepistemològica de la matemàtica educativa», teoria amb la qual dissenyem i analitzem aquí un treball amb estudiants en formació inicial de pedagogia en matemàtiques.
Aquest capítol promou la reflexió sobre la importància de treballar el pensament variacional en infants i joves, la qual cosa, a part del seu interès intrínsec analític, permet fomentar el desenvolupament d'habilitats del segle XXI, com ara la metacognició. Es presenten antecedents de divers tipus entorn de la problemàtica que visualitzem, com també sobre el pensament variacional, a mode de suggerir la complexitat que enfronten els professors en aquesta matèria; i com una manera d'il·lustrar com començar a enfrontar aquesta complexitat, s'utilitzen activitats escolars ad hoc extretes de la web, amb les quals es poden construir problemes oberts i promoure el desenvolupament de la metacognició.

El propòsit del present capítol és caracteritzar com ha evolucionat la manera d'operacionalitzar el marc teòric de Les Maneres de Pensament en les diferents recerques realitzades en el postgrau de l'Institut de Matemàtiques de la Pontifícia Universitat Catòlica de Valparaíso, Xile, tant en aquelles que s'adhereixen al model original de Sierpinska, com aquelles que proposen una varietat d'aquesta teoria. Per aconseguir l'objectiu plantejat, es proposa un Estudi de Casos instrumental, en el qual el Cas d'Estudi està conformat per Tesi de Magister i Doctorat en Didàctica de la Matemàtica que han estat realitzades des de la perspectiva de la teoria Les Maneres de Pensament entre els anys 2011 i 2022 a l'IMA de la PUCV. Com a tècnica d'estudi, s'opta per una anàlisi de contingut que considera la definició de criteris per a la lectura i observació dels documents i que emergeixen d'una revisió prèvia d'articles de Sierpinska en els quals es desenvolupa la teoria i una metodologia de recerca inicial de Les Maneres de Pensament.
L'escenari anterior posarà en evidència que si bé aquest marc teòric emergeix per donar respostes a problemàtiques de l'àlgebra lineal, en aquests deu anys ha estat adaptat a nous contextos d'estudi, disciplinaris i també interdisciplinaris, que han permès anar perfeccionant i integrant tècniques metodològiques per a l'obtenció de resultats que guien el disseny de propostes d'ensenyament que promouen la comprensió profunda dels Fragments de la Matemàtica a través del desenvolupament de Les Maneres de Pensament.

Presentem un estudi qualitatiu en el qual identifiquem els processos del pensament matemàtic en estudiants d'un curs d'Equacions Diferencials Ordinàries quan treballen en la modelització matemàtica d'un problema de mescles. Descrivim la modelització matemàtica com un cicle de quatre fases (problema en el món real, model teòric, model matemàtic i solució), el qual a més compleix el rol d'eina didàctica, pedagògica i d'anàlisi. El pensament matemàtic avançat s'assumeix com una activitat dinàmica en la qual es presta interès als processos de particularitzar, conjecturar, justificar i generalitzar. La recerca que es presenta en aquest capítol es recolza en tres fases metodològiques principals: a) disseny d'activitats per a l'ensenyament de les equacions diferencials ordinàries lineals, les quals s'aborden fent ús de conceptes propis del tema i de conceptes de física que al mateix temps brinden a l'estudiant la possibilitat de desenvolupar els diferents processos del pensament matemàtic; b) construcció d'indicadors per analitzar els processos del pensament matemàtic que emergeixen quan els estudiants donen sentit matemàtic a una situació problema del món real; i c) interpretació de dades. Els resultats mostren que les activitats proposades permeten desenvolupar tots els processos (particularitzar, conjecturar, justificar i generalitzar) del pensament matemàtic en els participants. Així mateix, els resultats revelen que les tasques basades en el cicle de modelització matemàtica contribueixen a afavorir l'aprenentatge de conceptes i habilitats relatives a equacions diferencials ordinàries de primer ordre.

El present capítol es focalitza a explicitar que s'entén per pensament matemàtic avançat en correspondència amb l'abstracció que es requereix aconseguir per a la construcció d'un concepte matemàtic específic –l'Isomorfisme d'Espais Vectorials de dimensió finita–. Per explicitar l'anterior es presentarà un esquema cognitiu amb base en la Teoria APOE (Acció, Procés, Objecte i Esquema) de com es construeix l'Isomorfisme d'Espais Vectorials (IEV), els elements dels quals permetran interpretar el pensament matemàtic avançat que estudiants universitaris mostren en aquesta construcció. Per aconseguir l'objectiu proposat, aplicarem el cicle metodològic que proposa la teoria APOE (Acció, Procés, Objecte i Esquema) que consisteix en tres etapes, les que permetran aixecar, refinar i validar indicadors del pensament matemàtic avançat que es posen a prova per aconseguir l'aprenentatge del tòpic matemàtic proposat.
Per desenvolupar el següent capítol, que se centra en la caracterització del PMA en l'àmbit de resoldre problemes d'isomorfisme d'espais vectorials, s'ha creat una activitat exploratòria contextualitzada. Aquesta iniciativa es basa en la identificació dels conceptes fonamentals de l'IEV, i durà a terme operacions sobre els esquemes de funció i transformació lineal (TL) amb dos objectius principals: (1) examinar les estructures mentals que intervenen en la formació d'un IEV en la seva interpretació funcional (IEVf) i (2) identificar els mecanismes mentals que s'activen en el desenvolupament de l'esquema per interpretar el IEVf.

En el present capítol s'exhibeixen els resultats d'una recerca l'objectiu de la qual és construir significats relatius al concepte de límit d'una funció de variable real utilitzant artefactes digitals, a partir de coneixements relacionats amb el pensament infinitesimal. Arran de l'anterior, hem integrat el programari GeoGebra fent èmfasi en les perspectives de localitat, orientant l'estudiant a prendre decisions conceptuals fent servir el zoom per construir el concepte de límit. La present recerca es va desenvolupar amb sis estudiants d'últim any de secundària (16-17 anys) en un context online a causa de la pandèmia per covid-19. Les produccions dels estudiants han estat analitzades partir de les eines teòriques que ens proveeix la «teoria dels espais de treball matemàtic». Els nostres resultats ens permeten donar compte del desenvolupament del pensament infinitesimal en els estudiants implicats en aquest estudi i com les oportunitats que brinda la tecnologia contribueixen a construir el concepte de límit, concepte essencial del càlcul diferencial.

En aquest capítol es compara el pensament matemàtic infantil evidenciat en pandèmia per estudiants que van cursar prekínder en modalitat a distància (n = 114 infants, amb una mitjana de 5 anys i 7 mesos) amb estudiants que el van cursar en modalitat presencial (n = 73, amb una mitjana de 5 anys i 2 mesos). Les dades s'obtenen del test TEMA-3, que examina els coneixements matemàtics informals i formals en l'àmbit numèric d'educació infantil. Els resultats de l'aplicació del test es desagreguen per edat, aprofundint en els resultats de 10 ítems del test, associats al rang etari de 5 a 6 anys. Les troballes mostren que, si bé tant el grup presencial com el grup a distància obtenen resultats similars, excepte diferències associades al caràcter formal i informal del pensament matemàtic, tots dos grups obtenen resultats per sota del que s'estableix en els objectius curriculars nacionals i en les orientacions internacionals per a l'educació infantil. Les recomanacions insten a replantejar les pràctiques d'aula i a aprofundir en la recerca sobre l'efectivitat de les pràctiques relacionades amb el desenvolupament del pensament matemàtic entorn del número en educació infantil.

El raonament informal sobre les mostres i la seva variabilitat pot proporcionar una ruta per desenvolupar el pensament estadístic en relació amb la inferència estadística. Les últimes dècades, s'ha consolidat l'enfocament de la inferència estadística informal que promou l'ensenyament de continguts associats amb la incertesa abans de l'ús de tècniques formals, caracteritzant aquest enfocament i el raonament que el sosté per components com ara: generalitzar més enllà de les dades, expressar la incertesa en aquestes generalitzacions, emprar llenguatge probabilístic, reconèixer l'agregat i integrar el context.
Amb el propòsit d'estudiar estructuralment el raonament inferencial informal des dels seus components, s'analitzen els elements diferenciadors dels tipus de raonament proposats per Peirce i l'estructura argumental proposada per Toulmin. Suggerim que la perspectiva combinada Peirce-Toulmin permet analitzar els raonaments dels estudiants que segueixen l'estructura d'un raonament inferencial informal de tipus inductiu. Per il·lustrar com aquesta perspectiva pot emprar-se, s'analitzen els arguments d'estudiants 4t en una lliçó que involucra un context lúdic de no equiprobabilitat. Tot això va permetre reconèixer que: (1) els raonaments emprats pels estudiants són inductius; (2) l'anàlisi estructural distingeix com els estudiants detecten regularitats en els resultats de les mostres, a fi de declarar una propietat generalitzada d'aquests resultats a manera d'inferència estadística informal; i (3) la necessitat d'incorporar qualificadors modals en les justificacions, per construir una generalització que s'estengui més enllà de les dades en contextos d'incertesa.

En el context de l'estudi del pensament matemàtic, aquest capítol se centra en el dissens de l'expressió sentit numèric en la literatura associada a les ciències cognitives i les ciències socials amb focus en la disciplina de l'educació matemàtica. Primer es va buscar en bases de dades globals les expressions «number sense» i «systematic review literatura», del que es van obtenir 16 documents; després de filtrar-los per seleccionar només revisions de literatura sobre el sentit numèric, es van considerar dos documents. Finalment, després de reportar una síntesi dels antecedents, mètodes i resultats de totes dues revisions, es discuteix l'estat de la qüestió i es donen orientacions per als docents. L'estudi evidencia que, si bé en educació matemàtica existeix menor consens sobre el significat de l'expressió sentit numèric, això és consistent amb la complexitat del terme número en matemàtiques. Aquest capítol contribueix a la representació del sentit numèric com a terme polisèmic, que inicialment és intuïtiu i en edat preescolar incorpora habilitats observables, per complicar-se en educació primària i constituir-se en un constructe teòric multifacètic que engloba la comprensió de sistemes de símbols i la inclinació a utilitzar propietats dels números i les operacions de manera flexible.