Matemática enactiva. Aportes para la articulación entre teoría y práctica en la educación matemática

El concepte de nocions bàsiques tracta la qüestió de com imatges i conceptes mentals influeixen en accions matemàtiques i com la formació dels conceptes mentals pot donar suport al desenvolupament de les habilitats matemàtiques. En aquest estudi es presenta l'evolució d'aquest enfocament didàctic, introduint el concepte general de nocions bàsiques, en particular, la connexió amb el procés del modelatge i la distinció entre ús normatiu i descriptiu, així com la distinció entre nocions bàsiques primàries i secundàries. A més, es mostra com les nocions bàsiques evolucionen des de l'inici de l'escola primària cap a l'escola secundària, per a seguir amb els resultats d'un estudi longitudinal, on es mostren els problemes que es formen en cas d'una insuficiència de nocions bàsiques. Finalment, es mostra que les nocions bàsiques no són elements estètics, sinó que més aviat –en el cas ideal– formen un sistema vivent amb interconnexions i ampliacions dins del desenvolupament de les competències matemàtiques.

En aquest capítol introductori apuntem a fer una revisió panoràmica dels aspectes fonamentals de la metaforización i la enacción, especialment rellevants per a la didàctica de la matemàtica. Comencem esbossant el desenvolupament històric de la metaforización i la enacción en la cultura humana, especialment, en ciències cognitives. Comentem de seguida alguns exemples paradigmàtics d'abordatges didàctics a nocions matemàtiques clàssiques, suggerits per la nostra perspectiva et rica, on s'entrellacen metaforización i enacción.

La formació matemàtica de professorat d'educació primària a Xile presenta desafiaments tant disciplinessis com didàctics. El programa de pedagogia en educació bàsica de la Universitat de Xile ofereix als seus estudiants, en el cinquè a o de la carrera, la possibilitat d'especialitzar-se en matemàtica. Dins d'aquesta especialització es concedeix gran rellevància a l'habilitat de modelamiento matemàtic, tant per la seva estreta relació amb altres habilitats de pensament matemàtic com per l'explícita exigència del currículum escolar vigent de desenvolupar aquesta habilitat. La proposta didàctica pretén que el futur professorat visqui l'experiència d'aprendre matemàtica fent matemàtica per a, després, quan hagi d'ensenyar-la als seus estudiants, apliqui una estratègia d'ensenyament inspirat en el mateix principi didàctic. El contingut matemàtic de l'experiència és la maximització del volum d'un paral·lelepípede, però no és el substantiu. Podria ser qualsevol altre t pico o contingut matemàtic similar. El rellevant, i, eventualment, el nou, és la manera de concebre i organitzar el treball escolar en la classe de matemàtica.

La incorporació d'activitats enactivas a l'aula ha crescut gradualment, per la qual cosa es reforça la seva presència en educació matemàtica. En aquest capítol abordem el disseny d'una proposta de classe per a alumnat de 6 a 8 anys centrada en una situació d'ensenyament enactiva de figures de dues i tres dimensions. Es donen a conèixer elements teoricopràctics que sustenten la proposta, els que aprofundeixen en el saber escolar implicat en la classe i la seva respectiva aplicació a l'aula des del enactivo. Posterior a això, es presenta la planificació de la classe, en la qual es ressalta el rol i la intencionalitat del enactivo en ella. Finalment, es duu a terme una anàlisi a priori de la classe, on s'expliciten coneixements posats en joc, possibles respostes i estratègies, juntament amb potencials errors, dificultats de l'alumnat i les respectives devolucions que pugui oferir el personal docent.

Aquest treball té per objectiu lliurar una mirada de com introduir l'ensenyament d'alguns tipus de funcions (exponencial i si) mitjançant el desenvolupament de nocions bàsiques secundàries. És per això que en una primera instància narrem des de la teoria i a què ens referim quan parlem de nocions bàsiques secundàries, permetent, alhora, distingir les semblances o diferències que existeixen amb les nocions bàsiques primàries. En una segona instància, volem mostrar les nocions bàsiques del concepte funció i com aquestes són transversals a diferents tipus de funcions. Si bé hi ha aspectes que són centrals, hi ha uns altres que són propis de cada funció, per la qual cosa es fa necessari distingir quines nocions són pròpies de la funció exponencial i si. Finalment, després de descriure de manera normativa les diferents nocions bàsiques secundàries declarades, volem presentar algunes activitats o alguns problemes amb els quals es poden treballar els diferents tipus de funcions, per a permetre que els estudiants (des de la nostra mirada) tinguin una millor comprensió d'aquestes.

En aquest treball ens proposem posar en evidència diferents metàfores, principalment enactivas, involucrades en l'ensenyament i l'aprenentatge de les congruències aritmètiques mòdul m, un típic ineludible en la formació matemàtica de futur professorat de matemàtiques per a l'escola secundària. Ens interessa especialment comparar la incidència de diferents metaforizaciones en els processos cognitius d'aprenentatge de l'alumnat, via un abordatge tant et ric com experimental. La nostra metodologia qualitativa de recerca comporta observació etnogràfica i participativa. L'alumnat involucrat en les experiències didàctiques aquí descrites i interpretades des de la nostra perspectiva teòrica són docents de matemàtica i física en formació, de primer i sisè semestre, de la Universitat de Xile, així com professorat de primària en exercici i participants d'un postítulo de desenvolupament professional en educació general bàsica amb esment en matemàtiques, en la mateixa universitat. Concloem que les diferents metaforizaciones posades en obra en les nostres experiències didàctiques, amb un apreciable component enactivo, a més d'icònica i simbòlica, incideixen marcada i positivament en el desenvolupament de l'aprenentatge i en la resignificación de les congruències aritmètiques per part de l'alumnat, així com en les seves actituds afectives cap a la matemàtica.

El nostre objectiu és investigar com fer assequible el pensament probabilista a l'alumne universitari humanista, que no té, en general, especial inclinació cap a la matemàtica. La nostra proposició és utilitzar un abordatge metafòric i enactivista a l'aleatori per a transformar-lo en determinista, en un context de dinàmiques de treballs grupals, en un curs de matemàtiques en la universitat per a estudiants humanistes de primer any. Presentem i discutim, des de la nostra perspectiva teòrica, exemples il·lustratius de diverses metaforizaciones, posades en obra en aquest curs, que permeten abordar eficaç i amigablement situacions a-didàctiques que involucren l'aleatori, construint de pas la noció de probabilitat.

El present treball explica el Museu Laboratori de Didàctica de la Matemàtica (MLDM), des del seu origen, la seva col·lecció i característiques museales, per a, després, endinsar-se en els aspectes educatius del projecte. Aquí és on es connecta l'aprenentatge amb la necessitat d'arribar a l'emoció de la persona que és interpel·lada per un objecte matemàtic. Posteriorment, s'explica la col·lecció, que es troba configurada per materials comprats i artesanals, organitzada en subcategories conforme a idees matemàtiques conductores. El treball es tanca amb exemples de les exposicions que es desenvolupen i es finalitza lliurant conclusions i algunes projeccions per al futur del MLDM.

En el present treball es presenta un conjunt de tasques amb la finalitat d'ajudar a millorar la transició secundària-universitat. Es pensa aquesta millora des de la promoció, actualment escassa, de processos de raonament inductiu i processos de visualització, motivant, amb això, un trànsit en els nivells d'argumentació validats en el pas del col·legi a la universitat. Les tasques s'analitzen des del marc teòric dels espais de treball matemàtics (ETM), la qual cosa ens permet, a més, integrar les recerques i els estudis al voltant de tots dos processos amb els avanços i les metodologies entorn del ETM. Aquestes tasques es proposen en el context dels tallers de matemàtica de primer any de la carrera de Pedagogia en Ensenyament Mitjà en Matemàtica i Física de la Universitat de Xile.

En les universitats alemanyes, el professorat en formació i els estudiants de matemàtiques pures assisteixen a les mateixes classes de matemàtiques. Per al futur professorat de matemàtiques (i, en part, també per als qui es dediquin a les matemàtiques en el futur) aquestes classes (Anàlisis I/II i  Àlgebra Lineal I/II) són molt difícils d'entendre, perquè són axiomàtiques i molt abstractes íntegrament. A les escoles secundàries alemanyes s'ensenya una introducció al càlcul en els últims dos a us, iniciant sempre amb exemples concrets (mètode inductiu). Així, per als estudiants universitaris alemanys de primer any, la introducció a les matemàtiques científiques s'associa amb una ruptura brusca del raonament inductiu al deductiu. El projecte Tasques de transició  intenta suavitzar aquesta difícil transició.
A continuació, es descriu aquest projecte, el qual es va dur a terme en la Universitat de Bielefeld en el semestre d'estiu de 2019. El treball es va centrar en el desenvolupament de tasques que haurien de vincular el raonament inductiu de les matemàtiques escolars i el raonament deductiu de les matemàtiques universitàries. Aquestes  tasques de transició es van inserir en les fulles d'exercicis habituals (una per a cada tema setmanal) d'una classe regular de Càlcul Diferencial I, amb la finalitat de fer conscient i explicitar les relacions entre les matemàtiques dels últims tres a us de l'escola secundària i el primer semestre de la universitat. La ruptura a dalt esmentada entre el treball matemàtic inductiu i deductiu és particularment problemàtica per al futur professorat de batxillerat. Si no es pot despertar en aquest alumnat un interès genuí per la matemàtica científica (és a dir, deductiva, axiomàtica), difícilment estaran disposats o seran capaces d'incorporar (en el futur) elements científics en el disseny de les seves pròpies lliçons de matemàtiques.
Tenint en compte la teoria de l'aprenentatge, perquè nous coneixements siguin comprensibles i estan dotats de significat, han de ser construïts a partir dels coneixements, les idees i les experiències prèvies dels qui aprenen. Aquestes tasques de transició usen explícitament els coneixements previs i les nocions bàsiques de l'escola, amb l'objectiu que els estudiants entenguin de millor manera els continguts matemàtics de la universitat. En aquest article s'expliquen els principis de construcció de les tasques mitjançant quatre exemples i, a més, es comenta el seu valor didàctic addicional. Sobre la base de l'avaluació realitzada, es descriu una breu ressenya dels avantatges d'aquestes tasques addicionals des del punt de vista dels estudiants.

En aquest capítol es presenta la construcció i l'anàlisi psicomètrica del test de conceptes fonamentals en matemàtica. El test està orientat a detectar la comprensió de nocions bàsiques matemàtiques en joves que inicien els seus estudis universitaris i es troba sustentant des de la didàctica de les matemàtiques per la teoria de nocions bàsiques i des de la psicometria per la teoria de resposta a l'ítem (TRI). Respecte al comportament dels setze ítems del test, que aborden continguts matemàtics agrupats en els eixos: fraccions, típics bàsics de l'àlgebra, equacions i anàlisis de dades, s'obté un índex de dificultat mitjana dels ítems de 0,46 en escala 0-1, i es reporta la corba de característica per a un model que considera la dificultat, la discriminació i l'atzar.

Aquesta recerca cuasiexperimental planteja una proposta d'ensenyament per a la adqui-sición de nocions bàsiques sobre els nombres enters, la qual és implementada amb estu-diantes de Xile d'educació superior (17 a 26 anys) amb un disseny de pretest i postest. El test inicial permet identificar les nocions bàsiques inicials que s'utilitzen en problemes conceptuals, de càlcul i d'aplicació. Els resultats evidencien que els estudiants de primer any d'universitat manquen de nocions bàsiques dels nombres enters i que, després de la implementació de la proposta d'ensenyament, activen noves nocions bàsiques que els permeten resoldre problemes.

En aquest treball es presenta l'anàlisi factorial exploratòria del test de conceptes fonamentals en matemàtica, el qual està orientat a detectar la comprensió de nocions bàsiques matemàtiques en joves que inicien estudis universitaris. Es va aplicar l'instrument a 1255 estudiants que iniciaven els seus estudis en una universitat no selectiva a Xile. L'anàlisi mostra que el test té un coeficient de confiabilitat kr-20 de 0,81 i l'anàlisi de factorial exploratori indica que l'estructura et rica original que considera avaluar fraccions, típics bàsics de la  àlgebra, equacions i anàlisis de dades, es pot agrupar en dos factors; el primer que agrupa íntegrament els ítems de la dimensió típics bàsics de l'àlgebra i incorpora dos ítems de les dimensions equacions i fraccions respectivament. El segon que recull íntegrament els ítems de la dimensió anàlisi de dades i incorpora dos ítems de les dimensions equacions i fraccions respectivament.

L'instrument pot utilitzar-se per a investigar sobre les nocions bàsiques, i els coneixements adquirits sobre fraccions, típics bàsics de  àlgebra, equacions i estadística bàsica en la transició d'educació secundària a educació superior. A més, els resultats de l'instrument poden orientar els cursos d'anivellament matemàtic i programes de suport acadèmic com a tutories o ayudantías.

En un ambient d'una classe pública, es planteja a l'alumnat de 7 o 8 a us, els qui s'organitzen en grups, una tasca enactivista de representar figures geomètriques 2D i 3D en forma silenciosa, de tal manera que les persones d'un dels grups només poden usar els seus cossos perquè les de l'altre grup les identifiquin. L'objectiu és veure el desplegament dels coneixements de l'alumnat en la relació 2D-3D presentada. Per a això, s'analitzen els coneixements previs de l'alumnat via els textos escolars que aquestes persones van manipular en la visualització de les figures 2D i 3D. En l'anàlisi dels textos escolars, així com en el desenvolupament de la tasca enactivista, usem la teoria de l'espai de treball matemàtic.

En el següent escrit es presenta una anàlisi de cas de la percepció del procés de remoció d'estructures estereotipades que dificulten l'aprenentatge i la comunicació en un curs de matemàtica enactiva acompanyat amb l'eina de grup operatiu. El grup està conformat per 23 estudiants entre 18 i 25 a us, 15 estudiants de gènere femení i 8 de gènere masculí corresponent al primer any del programa acadèmic de batxillerat amb esment humanista de la Universitat de Xile. Com a metodologia per a la recollida de dades s'utilitza l'eina de grup focal que permet analitzar els discursos del grup enfront de l'experiència. Per a abordar aquesta recerca, en una primera instància, presentar  el context on neix la idea de la instal·lació de grup operatiu en una classe de matemàtiques i, després, abordar  conceptes et rics de l'eina de grup operatiu que ajudar n a comprendre l'anàlisi de les categories emergents. Aquestes categories són dividides en tres moments: abans d'arribar al curs, durant el procés del grup i en finalitzar la intervenció; per a, finalment, reflexionar entorn de les preguntes que apareixen sobre l'experiència d'aprenentatge en la metaforización enactiva, des d'un grup que ve d'una història d'educació tradicional.

En l'article es presenten l'anàlisi i les conclusions d'un test compost per dues parts: la primera és una prova de coneixements de matemàtica amb base en les nocions bàsiques i, la segona, correspon a un qüestionari sobre dimensió afectiva que mesura l'actitud i l'ansietat cap a la matemàtica. Qui ha participat en l'estudi són 37 estudiants de primer any de la Universitat de Santiago de Xile, d'un programa l'ingrés del qual exigeix conèixer elements de matemàtica de nivell bàsic. Per a l'anàlisi es va revisar la consistència i la confiablidad de la prova i del qüestionari, com també es va explorar l'associació entre els resultats del test i índexs derivats del qüestionari. Entre les conclusions es destaca que existeix una associació inversa entre resultat en la prova de matemàtiques i el nivell d'ansietat, la qual cosa no es pot afirmar de les estudiants dones. No obstant això, es pot afirmar que l'ansietat estar a actuant de manera diferent segons el gènere.